三角比を使った問題4

センター試験のように誘導があれば解きやすい問題も、その誘導がないだけで解きにくくなったりする。記述式の問題などは、どうやって解答にたどり着けばよいか、その過程も考えなくてはならない。 今回の問題は\(AD+D=p\)の最 […]

三角比を使った問題3

↓タップで拡大↓ (1)は、\(sinA\)を求めてから三角形の面積を求める問題で、以前扱ったものと同様だ。 (2)は内接円の半径を求める問題。三角形と内接円の関係を考えてみる。次の図を見てほしい。 三角形ABCがあり、 […]

三角比を使った問題2

↓タップで拡大↓ 円に内接している三角形、あるいは四角形が出てくる問題は多い。様々な性質は押さえておきたい。 本問ではまず\(sin^2θ+cos^2θ=1\)を用いて\(cosA\)を求めるのだが、慌ててはいけない。 […]

三平方の定理の利用(四角錐・円錐)

前章・三平方の定理の利用(立体) 勘のいいひとはすぐに解き方が思いつくだろう。立体の中に直角三角形があるので、三平方の定理を用いて高さを求めることが出来る。 高さは、頂点から底面に垂直におろした線なので、その点は注意が必 […]

三平方の定理の利用(立体)

前章・三平方の定理の利用(円の接線) 立体や空間図形などでも三平方の定理はよく利用される。とにかく直角三角形があれば使える定理なので、利用範囲は広くなる。 今回は空間図形で三平方の定理を利用する問題の、もっともシンプルな […]

三平方の定理の利用(円の接線)

前章・三平方の定理の利用(二点間の距離) 問1は線の引き方を知らないと苦労するタイプの問題だ。OO’,OA,OBと線を引き、さらに直角三角形を作るように線を引く。こうすることにより、三平方の定理を利用できるよ […]

三平方の定理の利用(二点間の距離)

前章・三平方の定理の利用(四角形) 座標が出てくると、関数の問題だと思ってしまうだろう。事実、二点から直線の式を求める問題もよく出てくる。(例えば上記だと、直線ACはy=x+1である) しかし関数の知識だけでは二点間の距 […]

三平方の定理の利用(四角形)

前章・三平方の定理の利用(三角形) 前回同様、三平方の定理を使って長さを求め、そこから面積を求める。 問1は知らないと少し悩むが、とにかく直角三角形が出来るように、補助線を引けばいい。直角三角形があれば、三平方の定理が使 […]

三平方の定理の利用

前章・三平方の定理の逆 三平方の定理を利用して、三角形の面積を求める問題。これを解くには、とにかく高さを求める必要がある。 いずれの問題も、そのままの形は直角三角形でないため、補助線を引いて、直角三角形を作り出す。 問1 […]

三平方の定理の逆

前章・特別な直角三角形   今回は分かりやすくするため、式をすべて書いたが、実際解くときは暗算でやればいい。細かい計算をする必要がなく、等号が成り立つか、成り立たないのかだけ見ればいい。 とはいえ計算ミスをして […]

特別な直角三角形

前章・三平方の定理 「直角三角形があるから三平方の定理だ!」と思い込んで問題を見ると、「一辺しか分かってないから三平方の定理が使えない!」となって慌ててしまう。 そこで角度が45,45,90の三角形と、30,60,90の […]

三平方の定理

中学校の数学では最後に習う三平方の定理。あくまで直角三角形限定だが、2辺の長さから、残りの一片の長さを計算して求められる点が非常に便利である。本文でも触れているが、辺の長さはマイナスとならないので、x=-5などは省略して […]

接弦定理

前章・円に内接する四角形 接弦定理は、学校では深く扱わないが、是非とも覚えておいてほしい定理だ。個の定理を知らずに問1を解こうとすると、普通は思いつかないようなところに補助線を引かなくてはならないので、解くことが難しくな […]

円に内接する四角形

前章・円の性質の利用 向かい合う角度を足すと180°になるのはあくまで「円に内接する四角形」の場合だ。普通の四角形があるだけではそうはならないので注意しよう。逆に言えば「円に内接する四角形」があれば、問1のように角度を求 […]

円の性質の利用

前章・円と相似 証明は円周角の定理と、共通な角を使うだけなので容易だろう。 辺の長さの計算は少しややこしいかもしれない。とはいえ、相似の三角形を見つける→相似比を利用して辺の長さを求める、の繰り返しだ。対応させる辺に気を […]

円と相似

前章・円周角の定理2 平行線がある場合の相似と対応させる部分が違うことに気を付けよう。 相似を利用して辺の長さを求める 問1は円周角の定理を使って角度が等しいことを説明し、相似の証明が出来る。シンプルなので理解するのは簡 […]

円周角の定理の続き

前章・円周角の定理 問1は、弧の長さが等しければそれに対応する円周角も等しい、ということを表している。逆に言えば、円周角が等しければ、それに対応する弧の長さが等しい、ということにもなる。 問2は一見、円周角の定理に関係な […]

円周角の定理

*問1:y=120° です。 最も基本的な円周角の定理の問題だ。円があって角度を求めたり、利用する問題ではほぼ間違いなく使うことになる。補助線を引いたりする問題も多いので、多くの問題を解いていこう。 円周角の定理3に関し […]

相似を利用した色々な問題

前章・立体の相似と表面積比・体積比 問1は本文にも書いてある通り、比のまま直線的に考えていくと難しい。解答例のような方法をオススメする。 実戦では相似だけを使うとは限らない。問2のように、合同も絡めて出題される。問題を見 […]

立体の相似と表面積比・体積比

前章・三角形の面積比と相似比 立体PQRS-ABCDの形はわかるだろうか。四角錐の上半分を切り落としたものなのだが、表現が難しい。四角いプランターをひっくり返したような図形だ。 以前ある生徒と身長の話をしていた時に「身長 […]

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