二次関数・場合分け

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二次関数・場合分けの問題

二次関数の問題で多くの人が戸惑うのが、場合分けに関する問題だ。

「関数の最大値・最小値を求めよ」という単純な問題かと思いきや、aの値によって最大値や最小値が変わってくる。そのため、グラフの位置関係を把握することが大切になる。

まずは、固定されているものが何か、を確認したい。本問の場合は\(0\leqq x \leqq2\)という\(x\)の区間は固定されていて、絶対に動かない。逆に、頂点の座標は\((\frac{a+2}{2} , \frac{-a^2+12a+4}{4})\)となっており、文字aの値によって頂点の位置が変わってくる。

よって、「グラフがこの位置にあるときは最大値は〇」「グラフがこの位置にあるときは最大値は△」というように、グラフの位置を変化させながら解答していくことになる。

\(0\leqq x \leqq2\) の範囲で、軸がもし、0より左にあったら、最大値はどこになるだろう。軸が0より左にあるのだから、\(0\leqq x \leqq2\) の区間ではグラフは常に右下がりになっていることになる。ということは、\(x=0\)のときに最大値を取ることが分かるだろう。

もし軸が \(0\leqq x \leqq2\) の間にあったら?実際にグラフを動かしてみてほしい。\(0\leqq x \leqq2\) のどこに軸があっても、頂点の\(y\)座標が最大値になることが分かるはずだ。

もし軸が2より右側にあったら?\(0\leqq x \leqq2\) の範囲では、グラフは常に右上がりになる。よって\(x=2\)のときに、最大値を取る。

このように、軸の位置によって、どこで最大値を取るのか、が変わってくる。「軸がここにあったら…」と考えていけばよいのである。

解き方もややこしければ解答もややこしいので、苦手意識を持っている人は多い。しかし、すらすら解くことが出来れば気持ちいい問題でもある。

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