↓タップで拡大↓
「○○のようになるときのaの範囲を求めよ」という問題はかなり多い。この条件のときはこうなる、という形を多く身に着けなくてはならない。
その中の一つ、「放物線が\(x\)軸と正の部分で二つの交点を持つ」という問題を用意した。条件を考えてみよう。
まず、\(x\)軸と二つの交点を持たなくてはならない。よって、D>0である必要がある（条件１）判別式Dを用いて解くと
\((a-2)^2>0\)
となる。勘違いしやすいが、両辺の二乗を外して\(a-2>0\)とするのは間違いだ。実数は二乗したら必ず正の値になるのだから、\((a-2)^2\)を満たす\(a\)の値は、\(2\)以外のすべての実数、ということになる。実際に\(a=2\)を代入してみると、式は
\(y=x^2-2x+1\)
\(y=(x-1)^2\)
となり、これは\(x=1\)ただ一点でのみ、\(x\)軸との交点を持つことになる。交点が二つにならないことが、確かめられる。
次に、軸は必ず右側、つまり正の値である必要がある（条件２）よって平方完成して軸を求める。上では省略したので細かく書くと
\(y=x^2+(a-4)x-a+3\)
\(y=(x+\frac{a-4}{2})^2-\frac{(a-4)^2}{4}-a+3\)
\(y=(x+\frac{a-4}{2})^2-\frac{a^2-8a+16}{4}-\frac{4}{4}a+\frac{12}{4}\)
\(y=(x+\frac{a-4}{2})^2+\frac{-a^2+8a-16-4a+12}{4}\)
\(y=(x+\frac{a-4}{2})^2+\frac{-a^2+4a-4}{4}\)
となり、軸は\(-\frac{a-4}{2}\)と求められる。よって
\(-\frac{a-4}{2}>0\)
\(\frac{a-4}{2}<0\)
\(a-4<0\)
\(a<4\)
さらに、\(x=0\)のとき\(y>0\)であれば、グラフGは正の部分で二つの交点を持つことになる（条件３）よってx=0を代入し不等式を作る。
\(y>0\)
\(y=x^2+(a-4)x-a+3\)
\(0<0^2+(a-4)\times0-a+3\)
\(0<-a+3\)
\(a<3\)
- \(2\)以外のすべての実数
- \(a<4\)
- \(a<3\)
という条件が出そろったので、並べてみるとaの範囲が求められる。すべての条件を満たす\(a\)の範囲は
\(a<2 , 2<a<3\)
である。
(2)は因数分解を利用して交点の座標を求めればよい。上記解答例以外にも、グラフGは必ず点(1,0)を通るので、AB＝５となるためにはBの座標が(6,0)であればよい、と考えることも出来る。よって
\(-(a-3)=6\)
\(-a+3=6\)
\(-3=a\)
と解いてもよい。