変化の割合

前章・一次関数とは

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この手の問題で混ざりやすいのが「値」と「増加量」という言葉。「値」はその時の数値を示しているのに対し「増加量」は読んで字のごとく

勘のいい方はお気づきだろうが、一次関数\(y=ax+b\)の式で、変化の割合\(=a\)が成り立っている。上の問題を見てもらえば分かるだろう。\(a\)の値と変化の割合は等しい。

これは、一次関数では変化量が一定であるから。「比例」と似たようなものだ。例えば\(y=2x+3\)という一次関数の式であれば、\(x\)が\(1\)増えるごとに\(y\)は\(2\)ずつ増えていく。\(y=-\frac{1}{2}x-4\)という式であれば、\(x\)が\(1\)増えるごとに\(y\)は\(-\frac{1}{2}\)ずつ増えていく。

じゃあ変化の割合を求めるのに

\(\displaystyle\frac{yの増加量}{xの増加量}\)

なんていう式必要か?と思う人もいるかもしれない。\(y=2x+3\)の変化の割合は\(2\)だし、\(y=-\frac{1}{2}x-4\)の変化の割合は\(-\frac{1}{2}\)だ、見れば分かる、と。

今回は、一次関数だから変化の割合=aが成り立つだけであって、今後習う二次関数などでは当てはまらない。(つまり変化の割合=aにはならない)

よって変化の割合の求め方を覚えておく必要がある。(また、テストでもよく問われる)

また、つぎのような問題を解く際も便利だ。

(3) \(xとy\)の対応表が次のような一次関数がある。ア、イ、ウを埋め、変化の割合を求めよ

-4 -2 0 2 4
4 0

変化の割合を先に求める。\(x\)が\(-2→2\)まで\(4\)増加しているとき、\(y\)の値が\(4→0\)と\(-4\)増加している。よって

\(変化の割合=\frac{-4}{4}=-1\)

である。このことより、この関数は\(x\)の値が\(1\)増加するごとに、\(y\)の値が\(-1\)増加する関数であることが分かる。
よって

ア:6
イ:2
ウ:-2

である。

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