比の計算

前章・方程式の文章題3

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比の式を、方程式に変えて解くことが出来る。方法は「内側同士と外側同士」をそれぞれかけ算して、イコールで結べばいい。単純だ。

そもそも、なぜその方法が成り立つのか。

\(a:b=c:d\)

という比の関係があるとする。

\(a\)に対する\(b\)の値と、\(c\)に対する\(d\)の値は等しいですよ、という式だ。なので、次のように変形することが出来る。

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

文字式ではイメージがつかみづらい、という人もいると思うので、具体例も挙げておく。

\(1:2=2:4\)

という比の式があった時に

\(\frac{1}{2}=\frac{2}{4}\)

は成り立つ。これと同じである。

さて、\(a:b=c:d\)という式を\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)と変形したのち、両辺に\(bd\)をかけ算する。すると

\(\frac{a}{b}\times bd=\frac{c}{d}\times bd\)
\(ad=bc\)

となる。もともとの比の式と並べてみると

\(a:b=c:d\)
\(ad=bc\)

であり、これは「内側同士と外側同士」をそれぞれかけ算している形である。

なお、本文例題下段で行っている通り、( )があろうが\(x\)が二つ以上あろうが、解き方は変わらない。

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