三角比を使った問題1

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三角比を使った問題

\(sin , cos , tan\)の関係や、公式はすべて覚えた。完璧だ。と思っていても、基本中の基本を忘れている人がいる。それが、三角比の基本である「直角三角形の直角ではない一つの角度をaとしたとき、この三角形の任意の二辺の長さは角度aによって定まる」というものだ。

もっとかみ砕いて言うと、直角三角形があるときに、三辺の比は角度によって決まるよ、ということである。

さらに別の見方をすると、直角三角形があり2辺の長さが分かっていれば、三角比は求めることが出来るのである。(2辺が分かっていれば三平方の定理で残る一片の長さも求められる)

本問では直角三角形があり、\(cosC\)は見ただけで求められる。わざわざ余弦定理などを使う必要はない。同様にECの長さも瞬殺できる。\(cosC=\frac{1}{4}\)とは、直角三角形の斜辺と角Cを挟んでいる辺の長さの比が\(4:1\)であるということだ。

(2)(3)は公式を使って解く問題である。特に書くことはないので、余弦定理と三角形の面積Sの公式の証明をそれぞれ載せておく。

余弦定理の証明
余弦定理の証明

三角形ABCを用意し、BC=a , AC=b , AB=cとする。BからACに垂線を引き、ACとの交点をDとする。CD=xとすると、AD=(b-x)と表される。

三角形ABDにおいて、三平方の定理を用いると

\(BD^2=c^2-x^2\)

三角形BCDにおいて、三平方の定理を用いると

\(a^2=(b-x)^2+BD^2\)
\(a^2=x^2-2bx+b^2+(c^2-x^2)\)
\(a^2=b^2+c^2-2bx\)

ここで\(x=c・cosA\)なので
\(a^2=b^2+c^2-2bc・cosA\)

が成り立つ。

S=1/2bc sinAの証明
S=1/2bc sinAの証明

三角形ABCを用意し、BC=a , AC=b , AB=cとする。CからABに垂線を引き、ACとの交点をDとする。

\(CD=b・sinA\)となる。

三角形の面積=底辺×高さ×\(\frac{1}{2}\)より

三角形ABCの面積\(S=c\times b・sinA\times\frac{1}{2}\)
\(=\frac{1}{2}bc・sinA\)