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二次関数の式が\(y=(x-a)(x-b)\)という形に因数分解できれば、\(y=0\)を代入して\(0=(x-a)(x-b)\)となり\((a,0) , (b,0)\)で\(x\)軸と交点を持つ。これは多くの人が知っていることだろう。
逆に、\((p,0) , (q,0)\)を通る二次関数のグラフがあったとすれば、その式は
\(y=a(x-p)(x-q)\)
とすることが出来る。意外と見落としている人は多いので、この際覚えておいてしまいたい。
本問は\((4,0) , (p,0)\)を通る二次関数なので
\(y=a(x-4)(x-p)\)
とすることが出来る。さらに\((0,-2p)\)も通るので、\(x=0,y=-2p\)を代入すると
\(-2p=-4ap\)
\(a=\frac{1}{2}\)
となる。あとは\(b,c\)もそれぞれ求め、平方完成して頂点の座標を求めればよい。