4つの数字で10を作るゲーム

計算力や数字に強くなるため、だけでなく、お手軽な暇つぶしになるゲームがある。それが4つの一桁の数字で四則演算し、合計を10にするゲームである。

部活の試合などで電車に乗る際、切符に書かれていたランダムな4つの数字を使って10を作り、その速さを友人と競っていた。ところが今は誰もがスイカを持っている時代。切符を買うことは少なくなっているに違いない。だが適当な4つの数字を挙げるだけで遊べるのだから、その手軽さは健在だ。いくつか例を挙げていこう。

第一問 4641

解答例:(4×4-6)×1

第二問 5902

解答例:9×0+5×2

第三問 2240

解答例:2×4+2+0

第四問 2231

\(3^2+(2-1)\)

このように2乗などを使ってみても面白い。

ナンバープレートなど、4桁の数字がランダムに書かれているものを見たら、是非やってみてもらいたい。なお、0240のように、がんばっても10が作れない数字の並びもあるが、一度考えてみることに価値がある。

なぜ1+1=2なのか

学校で話題になったようなので、説明方法をひとつ紹介したい。

これを説明するには、まず「数(自然数。0とか1とか2とか)」ってなんやねん、というところから話を始めなければならない。

箱があるとする。中身は空っぽだ。

0の箱

中身が空っぽ、ということは、「中に何もない」のでこれを「0」とする。ここで、「0」という数が出来たので、それを箱に放り込む。箱の中に放り込むと「0」は「0」となる。

1の箱

箱の中に「0」が「ひとつ」入っている。「ひとつ」の数が入っている箱になったので、これを「1」とする。

つぎに、「1」も箱の中に放り込む。「1」は「1」となる。

1の箱

0」と「1」が「ふたつ」箱に入っている。「ふたつ」の数が入った箱になったので、これを「2」とする。「2」も箱に放り込む。「2」となる。

3の箱

0」「1」「2」の「みっつ」が箱に入っている。「3」とする。「3」も箱に放り込む…と繰り返していけば、「自然数」がどんなものなのか、想像できるだろう。例えば

6の箱

0」「1」「2」「3」「4」「5」の「むっつ」の数が入っている箱。これは「6」だ。

次に、「+1」ってなんやねん、ということを考える。ある数「m」があるとする。

mの箱

「m+1」とは、「m」の箱に「m」を放り込む作業である。

m+1の箱

少し分かりづらいので、具体例を見てみよう。「3+1」を考える。まず「3」がある。

3の箱

「3+1」は「3」の箱に「3」を放り込む作業だった。つまり

3+1の箱

となる。「3」を放り込んだ後の箱を見てみると

4の箱

 

となることが分かるだろう。「3+1」=「4」である。

ここまで来れば「1+1=2」も何となく想像が付くのではないだろうか。

1の箱

「1」の箱がある。「1+1」とは「1」の箱に「1」を放り込む作業なので

1+1の箱

となる。「1」を入れた後の箱は

2の箱

となっており「1+1=2」となる。

1+1?説明するまでもなく2に決まっとるやん!と思うかもしれないが、ほんの少し考えてみると新しくて面白い発見があるかもしれない。あと知っていると話のネタになるという点でも役に立つことがあるだろう。

1円から始めて1か月で1億円貯められる貯金箱

百均に行けばたくさんの貯金箱が売っている。中には、500円玉をいっぱいに入れれば10万円、あるいは30万円貯まる、という貯金箱もある。

しかし、どうせなら一億円くらい貯めたいではないか。だが手持ちのすべてのお金を貯金箱に入れてしまうと、使えるお金がなくなってしまう。そこで1円から始めても、1か月で1億円貯められる貯金箱を用意した。

No.1 : \(n^5\)乗貯金箱

\(n^5\)の上に書いてある数字は目標金額だ。当然1億である。

どういうものかを説明すると、日付を\(n\)に代入し、その金額を貯金箱に入れるのである。1日目は\(1^5=1円,2日目は2^5=32円\)…と貯金箱に入れていくのだ。
この方法で行くと、30日で約1億3000万円貯まる。証拠はこれだ。
n^5貯金箱
しかし、難点もある。貯金箱に入れる金額の上がり方が大きいので、\(8日目にして約16000円\)、\(10日目には10万円\)も貯金しなくてはならない。ハッキリ言って、10日も続かないだろう。貯金は続かなくては意味がない。そこで別の貯金箱も用意した。

No.2 : \(2^{n-1}\)貯金箱

2^n-1貯金箱

使い方は先の貯金箱と同様だ。\(n\)に日付を代入していく。1日目は\(2^{1-1}=2^0=1円\) (*中学では習わないけれど、0乗は1になる)2日目は\(2^{2-1}=2^1=2円…\)といった感じだ。これなら、\(8日目は256円、10日目も1024\)円貯金箱に入れるだけでいい。これは続けられそうだ!

2^n-1貯金箱

こちらもしっかり30日目には1億円を超える。

…?いや、数字をよく見てほしい。なんと10億円を超えている!27日目には目標の1億円を達成し、30日まで続ければ10億円貯金できる。素晴らしい。

ただし、倍々ゲームをしている以上、30日目には5億円ほど貯金箱に放り込まなくてはならない。

No.3 : \(n!\)貯金箱

n!貯金箱

別に「エヌ!」と叫んでいるわけではない。!マークを使って「階乗」というものを表している。(*高校で習う)

\(2!=1\times2=2\)
\(3!=1\times2\times3=6\)
\(4!=1\times2\times3\times4=24\)

というものだ。なんとなく想像できるのではないだろうか。

もちろんこれも、日付を\(n\)に代入し、その金額を貯金していく。1日目は\(1!=1円、2日目は2!=2円\)…。

貯金箱の目標金額が長すぎて見切れているので、左右からの写真も。

0が32個並んでいる。日本語にすると1溝円だそうだ。

ちょっと計算してみたら、すさまじい数になってしまったので紹介した。

グラフ

3つの貯金箱のグラフを重ねたものがこれだ。あれだけ大きく見えた1億や10億という数がほぼ直線に見える。(下の赤いグラフと青いグラフ)

統計などでグラフを見る機会も多いと思う。グラフを見るときは、その視覚的イメージに惑わされず、軸と比較対象をしっかり確認したい。

さて、上記の中に気に入った貯金箱があれば1日目から試してみてもらって構わない…。もう少し現実的な路線で行くと、\(n^2\)貯金箱を作れば、1か月で9000円ほど貯めることが出来る。

看板を手作りする

準備するもの

手作り看板

  • 木の板(ちょっと厚みがある方がいい・薄いとだんだん曲がってくる)
  • ノコギリ
  • 紙やすり(なくても何とかなる)
  • ペイント2色(下地色と文字色・今回は黒と緑の水性塗料を用いた)
  • ハケ(もしくはローラー)
  • スプレーのり(普通ののりでも何とかなる)
  • デザインナイフ(なければカッター)
  • マスキングテープ
  • 段ボールやブルーシート
  • パソコン(デザインソフト)

たいていのものは家にあるかと思う、なければホームセンターや百均で揃えられる。

1.木の板に線を引き、切る

木を切るノコギリで、木の板を作りたい看板の大きさに切る。あらかじめ鉛筆などで線を引いておかないと、切っているときに曲がっていってしまうので注意しよう。今回作った看板は小さなものだったので、万能ナイフについているノコギリで十分だった。

2.やすり掛けやすり掛け

切り落とした木の板全体に軽くやすり掛けする。ノコギリで切った面を滑らかにするのと、ツルツルな板だとインクが乗りにくいので、ちょっと面をザラザラにしておくといい。コーナーの4隅を切り落としてやすり掛けすれば、丸い形の看板を作ることも出来る。

*参考:丸みを帯びた看板丸い看板

3.下地色をペイントする

下地色のペイント

ハケやローラーで下地色のペイントをする。(今回は黒色)丁寧に仕上げたい人は、一度色を塗ってから乾かし、再度塗る(二度塗り)するとムラなく綺麗に塗ることが出来る。もちろん、汚れてもいい段ボールなどを下に敷こう。塗り終えたら、よく乾くまで待機。

4.乾かしている間に、看板のデザインを作る

看板デザイン

パソコンのデザインソフト(ペイントなど)で看板のデザインを作る。キャンパスのサイズを看板のサイズと同じにして、デザインしよう。印刷して切り抜くだけのための工程なので、色は白黒で作成すればよい。

なお、漢字や数字、アルファベットなど文字はなんでもいいが、後の工程で文字を切り抜く作業があるので、なるべくシンプルな文字、シンプルなデザインにした方がいい。複雑な漢字などを入れてしまうと、切り抜くときに心が折れる。

デザインを作り終えたら、紙に印刷しておく。看板のサイズが大きい場合でも、分割して印刷することで、対応できる。(実際のサイズで印刷、などの項目がある)

5.マスキングテープを貼る

マスキングテープを貼る

下地ペイントが完全に乾いたら、マスキングテープを板全体に貼る。少し重なり合うように貼るといい。

6.スプレーのりで、印刷したデザインを板に貼る

スプレーのりで貼る

マスキングテープの上からスプレーのりを軽く振りかけ、印刷したデザインを貼り付ける。きちんと文字が板の上に乗っているか、しっかり確認しよう。

7.マスキングテープごと文字を切り抜いていく

文字を切り抜く

デザインナイフで、印刷された文字を切り抜いていく。板も文字色も黒で分かりづらくて申し訳ないが、In the Oまで切り抜き終えている。文字を切って、その部分のマスキングテープをはがしていく。この作業があるので、使う文字はなるべく簡単な文字にしたい。デザインナイフがなくてもカッターで代用できるが、細かい部分の切り抜きが難しくなってしまう。デザインナイフを一つ持っていると、いろいろな工作には便利だ。

8.紙をはがして最終確認

最終確認

全ての文字を切り終えたら、紙をはがして完成系を確認しよう。文字を切り抜いた部分に、別の色のペイントが乗ることになる。Oやaなどの、中の部分のマスキングテープが欠けていると、塗りつぶしてしまうことになるので注意しよう。

9.文字色をペイントする

文字色のペイント

マスキングテープの上から、文字色のペイントを塗っていく。しっかりマスキングされていれば、切り抜いた部分以外に色が入ることはない。

塗り終え

塗り終えたら、乾くまで待機。

10.マスキングテープをはがして完成!

手作り看板完成

乾いたら、マスキングテープをはがしていく。はがすときもデザインナイフなどを使いながら、慎重にはがしていこう。

問題なければそのまま完成だ。屋外でも十分使える。別の看板を作った時、完成した後で表面に透明なラッカースプレーを吹きかけたことがあったが、3年ほどでラッカーにひびが入ってきたので、スプレーする必要はないと思う。

今回の作業時間は、待機時間含め合計2時間ほど。もちろん文字の量や大きさ、季節によってペイントの乾きやすさも違うので、そのあたりは考慮しよう。
(*作業日の各務原市の最高気温は38°、ペイントはすぐ乾いた)

立て掛ける以外にも、ドリルで穴をあけてチェーンを通したり、L字フックに引っ掛けたりする手もある。

ピザを使って円の面積を分かりやすく求める

皆さんは円の面積を求めることができるだろうか。小学6年生ならば「半径×半径×3.14!(または半径×半径×円周率)」と答えてほしいし、中学生以上の人は「π r 二乗ですね」と答えてほしい。

しかし、ではなぜ円の面積が「半径×半径×円周率」(以下これで統一する)で求めることができるのか、と言われると、説明に困るのではないだろうか。

そこで今回、円の面積の求め方を、分かりやすいようにピザを使って説明したいと思う。

まず、ピザを一枚用意する。

スーパーで売ってるような普通のピザで構わない。種類はなんでもいいが、今回はマルゲリータを用意した。

ピザ

とりあえず直径を測ろう。このピザは直径が22cmである。このことから、円周(円の周りの長さ)は「22×3.14=69.08」となる。

ピザ2

実際にメジャーで長さを測ると約70cmである。

次にピザを8等分に切り分ける

8等分に切るときは2等分→4等分→8等分、となるように切るときれいに切ることができる。ちなみにこの段階でピザを焼いた。ピザ3

ではここからピザの面積を求めよう。

8等分したピザを見ると、おうぎ形をしていることが分かるだろう。ならばおうぎ形の面積を求めてしまえば、ピザの面積が求められる。「ピザ一切れ(おうぎ形)8個の面積=ピザ(円)の面積」ということだ。

おうぎ形の面積を求めるためには、三角形と同じで底辺の長さ高さが必要である。(厳密には底辺という表現はしないが、分かりやすくするためこの表現を使う)底辺は円周を8等分した値、高さ半径である。

さらに、ピザを直線に並べてみよう。

ピザ5

一番左のピザ一切れから順に面積を求めていって

底辺×高さ÷2+底辺×高さ÷2+底辺×高さ÷2+底辺×高さ÷2+底辺×高さ÷2+底辺×高さ÷2+底辺×高さ÷2+底辺×高さ÷2

がピザの面積である。しかし計算が面倒なので、底辺の長さをすべて足してから、”×高さ÷2”をする。計算式にすると次のようになる。これは上の式を×高さ÷2でくくりだした式になっている。

(底辺+底辺+底辺+底辺+底辺+底辺+底辺+底辺)×高さ÷2

次にこの(底辺+底辺+底辺+底辺+底辺+底辺+底辺+底辺)の部分、これは円周と等しい。今回はたまたま8等分しているが、何等分しようがこの部分が円周に等しくなる。円を切ってそれを直線に並べているだけだからだ。

書き換えると、ピザの面積を求める式は次のようになる。

ピザの面積=円周×高さ÷2

さらに、高さに当たる部分は半径と等しかったため、式をさらに書き換えることができる。

ピザの面積=円周×半径÷2

さらに、円周直径×円周率で求められることを思い出して、式を書き換える。

ピザの面積=直径×円周率×半径÷2

最後に直径半径×2なので、書き換える。

ピザの面積=半径×2×円周率×半径÷2

これを計算して並び替えると、お待ちかね、ピザの面積を求める式が現れる。

ピザの面積=半径×半径×円周率

すなわち円の面積=半径×半径×円周率である。

念のため2通りの方法でこのピザの面積を求めよう。

まずはせっかく求めた円の面積の公式に当てはめる。

直径22cm,半径11cm , 円周率=3.14とすると、

11×11×3.14=379.94 平方cmである。

次に8等分したピザ一切れの面積を求める。底辺=円周÷8=69.08÷8=8.635cm , 高さ=半径=11cmなので、ピザ一切れの面積は

8.635×11÷2=47.4925

となる。ピザ全部の面積はピザ一切れ×8なので

47.4925×8=379.94平方cmだ。

どちらの方法でピザの面積を求めてもぴったり一致している。素晴らしい。

円の面積なんて公式を覚えておけばいいんだよ!と言う人もいるかもしれない。しかし数学ではなぜこの公式で求められるのか、といった根本的な部分は大切だ。実際、大学入試では、公式の成り立ちの説明がそのまま問題になっているものもよく見る。公式がどのように導かれるか、というのは円の面積の公式に限らず、いろいろな場面で役立つので、ぜひ頭の片隅に入れておいてほしい。(ただし学校で習う範囲の知識では説明できない公式(例:球の体積)などもある)

ということで、今後ピザを食べる際は、円の面積の求め方を家族や友人に説明してあげよう。きっと喜ばれることだろう。

現代アートは難解だ

台湾への一人旅。一日目二日目は台北101や中正紀念堂などのベタな観光地を回りそれなりに楽しんでいた。

台北101
曇っていたので台北101からの夜景はもやっている

中正紀念堂
中正紀念堂も青空ならもっと映えていたかもしれない

写真を見てもらえばわかるように一日目二日目とどんよりした曇り空だった。そして三日目の今日もやはり曇り空だ。外の曇りはもう見飽きた。というわけで室内鑑賞できるものを見に行こう。

台北當代芸術館
台北當代芸術館にやってきた

選んだのは近くにあった美術館。やはりイケてる男はアートを嗜むものである。外壁からアーティスティックな感じが垣間見えてワクワクする。

入口付近には撮影スポットもある

入館料は50台湾ドル、日本円にして約190円だ。チケットを買って荷物をロッカーに預けて館内を周る。台北の有名な観光スポットである国立故宮博物院と比べると人が少ないのでゆっくり鑑賞できるのがいい。

この建物はもともと小学校でありそれを改装して美術館にしたようだ。そのため廊下→展示室→廊下→展示室、ともともと教室だったであろう部屋に出入りしながら作品を鑑賞していく。

台北當代芸術館
写真などを展示している

一階部分は写真の展示が多かった。写真は被写体がすごかったり撮影の仕方が面白かったりで分かりやすくていい。これで一階部分は終わり。二階も楽しめそうである。

二階では映像作品の展示をしていた。部屋に入って見始めるが、物語でもなくドキュメンタリーでもない。まさに「映像作品」である。内容がつかめない。

開始1分でよくわからんなー、という感想が頭に浮かぶ。開始3分で一緒に見ていた台湾か中国かの人がぞくぞくと部屋から出ていく。開始5分で「あ、これわからんやつや」「でもここまで見たら最後まで見たい」という心の葛藤が生まれる。

そして何とか一つ目の作品を見終えて二つ目の作品へ。開始1分でよくわからんなー、という感想が頭に浮かぶ。開始3分で一緒に見ていた台湾か中国かの人がぞくぞくと部屋から出ていく。開始5分で「あ、これわからんやつや」「でもここまで見たら最後まで見たい」という心の葛藤が生まれる。つまり先ほどと同じである。

二つ目の作品も見終えてそのまま三つ目の作品へ。開始1分でよくわからんなー、という感想が。うん、次へ行こう。三つ目の作品には申し訳ないが早めの切り上げ。

10画面の作品

四つ目の作品は大作そうだった。スクリーンを10個ほど用いて映像を流していく。しかし内容が…台湾や中国、韓国の人も次々席を立っていくので言葉の問題ではないと思う。単純に映像が何を伝えたいのかよくわからない。これがアートなのか。アートとはよくわからないものなのか。

以前誰かが「アートに正解はない。自分なりに楽しめればそれでいい」のようなことを言っていた。そうだ、私はこれらの映像作品を楽しんだではないか。内容を理解する必要なない。作品を見た、という事実がアートの一片をなしているのだ。

結局すべて見て回るのに二時間ほど。難解な作品も多くあったものの楽しむことができた。それに加えて次のような会話も出来る。

「へー、台湾行ったんだ。どこ行ったの?」

「美術館で映像作品を鑑賞してね。時間が過ぎるのを忘れてしまっていたよ。」

うん、素敵な返答だ。今度使ってみよう。そう思い帰路についた。

参考URL: 台北當代芸術館

台北駅付近で大道芸をやっている人がいた。声をかけたら日本人だった。

やはりパフォーミングアートはいいね!

 

 

マカロンを作る

(*これは2016年に受講生向けに書いたコラムを加筆修正したものです)

冗談で「マカロン買って」とある生徒に言われた。聞いてみると一つ200円もするという。高い!断る!
ということでマカロンを作ることにした。結果的に200円以上かかったけれど。

まずはレシピ。今はレシピをすぐに検索できるから便利である。材料は卵白、アーモンドプードル、粉砂糖、グラニュー糖っと。
分かったような書き方だが、実際は卵白以外どんなものかよくわかっていない。粉砂糖とグラニュー糖って砂糖と何か違うの?アーモンドプードル?

加えて作り方も見てみる。なになに、メレンゲを作りいろいろ混ぜてからマカロナージュする。乾燥させて焼く。ふむふむ、なるほどね。
カタカナが多くて何を言っているのか分かりづらい上に時間もかかりそうだ。作るの止めておこうかな。

消極的になっていると、たまたま最近マカロンを作ったというN君がいろいろアドバイスをくれた。
「電動ハンドミキサーがないとキツイ」
「マカロナージュは動画とか見て確認した方がいい」
「絞り袋に入れるときは容器を使ってやるとやりやすい」
ここまでアドバイスもらったらもう作るしかない。

道具を揃え、準備に取り掛かる。
結局電動ハンドミキサーは買わずに手動。
ゴムベラなど持っていないのでしゃもじで代用。
グラニュー糖は砂糖で大丈夫でしょ。
絞り袋はジップロックの袋の隅を切ればいいか。
アーモンドプードルと粉砂糖は必要らしいので購入。
あと間に挟むためのチョコも購入。

アーモンドプードル・・30g
粉砂糖・・・・・・・・60g
砂糖・・・・・・・・・30g
卵白・・・・・・・・・卵一個分
板チョコ・・・・・・・一枚

さて作っていこう。
ボウルに卵白を落とし泡立てていく。途中途中で砂糖を加えながらひたすらかき混ぜる。
3分で右手が疲れてきて、左手にチェンジ。3分したら左手が疲れてくるので右手にチェンジ。砂糖を加える度に負荷も大きくなり、いい筋トレになりますわ。
30分ほど混ぜ続けるとボウルをさかさまにしても落ちないくらいのメレンゲが出来上がる。


次に「あらかじめふるっておいたアーモンドプードルと粉砂糖を加える」とレシピにはあるのだが、ただでさえ細かいものをわざわざふるう意味があるのだろうか?と思ったのでそのまま加えることにした。このあたりは雑なのだ。

そしてマカロナージュという工程。日本語にすると「アーモンドプードルと粉砂糖をメレンゲに加え、ツヤがでるまで混ぜろ」という事らしい。本来はゴムベラで滑らせるように混ぜていく。だが私はしゃもじで滑らせるように混ぜていく。絵にはならないが上手くできたので良し。

マカロナージュが終われば、ジップロックの袋に入れ端を切り落としてクッキングシートに絞っていく。絞る大きさがよくわからず最初のいくつかは大きさがバラバラだが、何とかなる。

そのまま30分ほど乾燥させて、手で触ってもくっつかなくなったら140℃に予熱したオーブンで13分焼く!あとは冷ましてからチョコレートを溶かしてはさんで出来上がり!
このパキャってなっているのがマカロンの特徴のようだ。

見た目的には上出来だったが、中が空洞化してしまい、マカロンっぽくはなくなってしまったらしい。というのも、私はマカロンを食べたことがないのでマカロンとして成功なのかどうか自分ではよくわからないのだ。マカロンを知っている人に言わせれば「マカロンとしては60点だけど美味しい」という事だった。

結構時間がかかってしまうが、ものを作るのは面白いと思うのでみなさんも時間があるときに作ってみてはいかがだろうか。