2点から一次関数の式を求める

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2点(あるいは2つの座標)が判明している場合の一次関数の式の求め方を、今回は扱っている。

\(x=〇のときy=◇\)
という表現と
\((x,y)\)を通る
という表現が同じであるということは、前回も扱った。

さて、一次関数であるが、グラフにすると直線になる。直線ということは「2点が決まればただ一つに決まる」ということである。これから様々な一次関数の問題が出てくるが、解き方が浮かばない場合、「どこかしら2つの座標が取れれば、一次関数の式は求められる」という意識をしておきたい。

では2点が分かっている場合の一次関数の式の求め方に移ろう。方法は2つある。

一つ目は素直に2つの\((x,y)\)を\(y=ax+b\)の式に代入することである。ただし、2点存在するので、代入した式が2つできることになる。

式が2つ存在するということは、連立方程式の出番である。連立方程式を解いて\(aとb\)を求めれば、傾きと切片が求められる。

もう一つの解き方は、先に傾きを求めてしまうことだ。\(x\)の増加量と\(y\)の増加量が分かれば、傾きは求められることを利用する。それぞれの増加量であるが、\(x\)の増加量を求める際は\(x\)の値を、\(y\)の増加量を求める際は\(y\)の値を使う。

いくつか例を挙げると

(3,4)(-2,-9)を通る直線の傾きを求めるとき
\(x\)の増加量は\(3-(-2)=5\)
\(y\)の増加量は\(4-9=-5\)
というように、片方からもう片方の座標の値を引けば、増加量は求められる。
それぞれの増加量は求められれば、傾きは\(\frac{-5}{5}=-1\)と求めればよい。

(-2,4)(4,-6)であれば
\(x\)の増加量は\(-2-4=-6\)
\(y\)の増加量は\(4-(-6)=10\)
である。傾きは\(\frac{10}{-6}=-\frac{5}{3}\)である。

傾きさえ求めてしまえば、前章の問題と変わりはない。座標も、2つあるうちのどちらでも好きな方を使えばよい。再度確認だが、

  1. 傾きと1点が分かっている
  2. 切片と1点が分かっている
  3. 2点が分かっている

のいずれかであれば、一次関数の式を求めることは可能なのだ。