二次関数

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二次関数の問題

二次関数の問題は数学Iの中でも最もよく見る問題の一つだ。

\(x^2+4x+8\)

のように数字が当てはめられているものもあるが、本問のように

\(x^2+(a-1)x+3a+5\)

というように文字が使われている問題も多い。

二次関数の問題は、まずは平方完成から始まると言ってもいい。どのような二次関数でも素早く平方完成できるようにしておく必要がある。簡単に書くと、xの項を\(\frac{1}{2}\)してカッコ内に入れ、その二乗にx^2の係数をかけたものを引けばよい。といっても少々文字では分かりづらいので例を挙げると

\(x^2+2x+3=(x+1)^2-1+3\)
\(=(x+1)^2+2\)

のように行う。これは文字が入っていても全く同じルールで行える。例えば

\(x^2-(2a+4)x+3a=(x-(a+2))^2-(a+2)^2+3a\)
=\((x-(a+2))^2-(a^2+4a+4)+3a\)
=\((x-(a+2))^2-a^2-a-4\)

のようになる。また、\(x^2\)の係数をかけ忘れるミスをしやすい。

\(2x^2+4x+6=2(x^2+2x)+6\)
\(=2(x+1)^2-1\times2+6\)
\(=2(x+1)^2+4\)

とする必要がある。

さて、平方完成したらあとは問題にある範囲を答えるだけである。本問(1)は、平方完成自体は必要なく、判別式D\((b^2-4ac)\)を用いて解答できる。x軸と共有点を持つ、すなわちx軸と交わっている、あるいは接しているということなので、D=0,またはD>0ということがいえる。

逆にx軸と共有点を持たない場合はD<0となる。判別式を使えば、共有点の有無の判別が素早くできるので覚えておきたい。

(2)は頂点の座標がx,yともに正となるときのaの範囲を聞かれている。平方完成により、頂点の座標が求められているので、あとは連立不等式を解くだけである。