一次関数の応用問題(動く点P)

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一次関数の応用問題(動く点P)
一次関数の応用問題(動く点P)

多くの人が苦戦する動く点Pの問題だ。しかも点PはAB上、BC上、CD上と、3か所も道を通っていく。

しかし一つ一つゆっくり見ていけば、決して解くのが不可能な問題ではない。点Pが動いていくと(つまり\(x\)が増加していくと)面積\(y\)はどのように変化していくのか、さえ押さえておけばよい。

点PがAB上を動くときは、面積\(y\)は一定の速度で増えていく。\(x\)が0のとき\(y\)も0,\(x\)が1のとき\(y\)は4,\(x\)が2のとき\(y\)は8…とみていくと、\(x\)が1増えるごとに\(y\)は4増えることが分かる。

よって\(y=4x\)という式も簡単に見つかるだろう。もちろん、上記本文のようにADの長さとAPの長さを考えて、直接面積を求める式を作ってもいい。

点PがBC上にあるときは、面積\(y\)は16で一定だ。実際に、自由に点Pを動かして考えてみてほしい。点PがBC上のどこにあろうとも、面積は16になる。

点PがCD上にある場面が一番苦戦するだろうが、一次関数は2点を取れば自動的に式が決まる、ということを利用すれば簡単だ。上記解答例のように

\(x=6\)のとき\(y=16\)
\(x=10\)のとき\(y=0\)

と、2点を取ってしまえばあとは連立方程式で解くだけで傾きaも切片bも求めることができる。もちろん直接PDの長さを求めに行ってもいい。よく解答例などに

PDの長さ=(8+4+8-2x)などと書いてあり、なんだこれ?となってしまう人も多いようだが、A-B-C-D(AからB,Cを通ってDまでの意)の長さ=8+4+8=20,A-B-C-P(AからB,Cを通ってPまでの意)の長さ=2xと分けて考えればいいたいことも分かるのではないだろうか。