三角比を使った問題3

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三角比を使った問題3

(1)は、\(sinA\)を求めてから三角形の面積を求める問題で、以前扱ったものと同様だ。

(2)は内接円の半径を求める問題。三角形と内接円の関係を考えてみる。次の図を見てほしい。

内接円の半径と面積の公式

三角形ABCがあり、各辺の長さをそれぞれa,b,cとする。内接円の中心をIとし、半径をrとする。AB,AC,BCそれぞれとIを結ぶ線を引くと、それぞれ角度は90°になる。

ここで三角形ABCの面積を求めたい。三角形BIC,CIA,AIBと3つに分けて考える。それぞれ底辺×高さ×\(\frac{1}{2}\)として計算すると

三角形BICの面積=\(\frac{1}{2}ar\)
三角形CIAの面積=\(\frac{1}{2}br\)
三角形AICの面積=\(\frac{1}{2}cr\)

となる。よって三角形ABCの面積Sは

\(S=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr\)

右辺を\(\frac{1}{2}r\)でくくると

\(S=\frac{1}{2}r(a+b+c)\)

少し形を変えて

\(S=\frac{1}{2}(a+b+c)r\)

とし、公式が完成する。

三角比を使った問題2

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三角比を使った問題

円に内接している三角形、あるいは四角形が出てくる問題は多い。様々な性質は押さえておきたい。

本問ではまず\(sin^2θ+cos^2θ=1\)を用いて\(cosA\)を求めるのだが、慌ててはいけない。

\(cos^2A=\frac{16}{25}\)
\(cosA=\frac{4}{5}\)

としてしまっては誤りだ。しっかり問題を読んでみると\(\angle{A}>90°\)と書いてある。\(90°<θ<180°\)では\(-1<cosθ<0\)である。

外接円がある場合、正弦定理を使って外接円の半径Rを求めさせる問題も多い。再度確認しておこう。

頂角Aの二等辺三角形の等辺の長さAB,ACを求める場合、\(AB=AC=x\)と置いてしまえば

\(BC^2=x^2+x^2-2\cdot x\cdot x\cdot cosA\)

と式を立てて解くことが可能だ。覚えておきたい。

三角比を使った問題1

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三角比を使った問題

\(sin , cos , tan\)の関係や、公式はすべて覚えた。完璧だ。と思っていても、基本中の基本を忘れている人がいる。それが、三角比の基本である「直角三角形の直角ではない一つの角度をaとしたとき、この三角形の任意の二辺の長さは角度aによって定まる」というものだ。

もっとかみ砕いて言うと、直角三角形があるときに、三辺の比は角度によって決まるよ、ということである。

さらに別の見方をすると、直角三角形があり2辺の長さが分かっていれば、三角比は求めることが出来るのである。(2辺が分かっていれば三平方の定理で残る一片の長さも求められる)

本問では直角三角形があり、\(cosC\)は見ただけで求められる。わざわざ余弦定理などを使う必要はない。同様にECの長さも瞬殺できる。\(cosC=\frac{1}{4}\)とは、直角三角形の斜辺と角Cを挟んでいる辺の長さの比が\(4:1\)であるということだ。

(2)(3)は公式を使って解く問題である。特に書くことはないので、余弦定理と三角形の面積Sの公式の証明をそれぞれ載せておく。

余弦定理の証明
余弦定理の証明

三角形ABCを用意し、BC=a , AC=b , AB=cとする。BからACに垂線を引き、ACとの交点をDとする。CD=xとすると、AD=(b-x)と表される。

三角形ABDにおいて、三平方の定理を用いると

\(BD^2=c^2-x^2\)

三角形BCDにおいて、三平方の定理を用いると

\(a^2=(b-x)^2+BD^2\)
\(a^2=x^2-2bx+b^2+(c^2-x^2)\)
\(a^2=b^2+c^2-2bx\)

ここで\(x=c・cosA\)なので
\(a^2=b^2+c^2-2bc・cosA\)

が成り立つ。

S=1/2bc sinAの証明
S=1/2bc sinAの証明

三角形ABCを用意し、BC=a , AC=b , AB=cとする。CからABに垂線を引き、ACとの交点をDとする。

\(CD=b・sinA\)となる。

三角形の面積=底辺×高さ×\(\frac{1}{2}\)より

三角形ABCの面積\(S=c\times b・sinA\times\frac{1}{2}\)
\(=\frac{1}{2}bc・sinA\)

二次関数/係数を求める

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二次関数/係数を求める

二次関数の式が\(y=(x-a)(x-b)\)という形に因数分解できれば、\(y=0\)を代入して\(0=(x-a)(x-b)\)となり\((a,0) , (b,0)\)で\(x\)軸と交点を持つ。これは多くの人が知っていることだろう。

逆に、\((p,0) , (q,0)\)を通る二次関数のグラフがあったとすれば、その式は

\(y=a(x-p)(x-q)\)

とすることが出来る。意外と見落としている人は多いので、この際覚えておいてしまいたい。

本問は\((4,0) , (p,0)\)を通る二次関数なので

\(y=a(x-4)(x-p)\)

とすることが出来る。さらに\((0,-2p)\)も通るので、\(x=0,y=-2p\)を代入すると

\(-2p=-4ap\)
\(a=\frac{1}{2}\)

となる。あとは\(b,c\)もそれぞれ求め、平方完成して頂点の座標を求めればよい。

二次関数/最小値から考える

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二次関数/最小値から考える

今回の問題は、グラフの最小値が与えられている問題だ。\(0\leqq x\leqq5\)の範囲での最小値を考える。

グラフが上に凸の場合、頂点や軸がどこにあろうとも、\(0\leqq x\leqq5\)の範囲で の最小値は\(x=0\)もしくは\(x=5\)のときに限られる。適当にグラフを描いて確かめてほしい。ちなみに、最大値はグラフの軸や頂点の位置によって変わってくる。当然、\(y=x^2+2x\)などのように、グラフが下に凸の場合は逆で、最大値が区間の端になるし、最小値は軸や頂点の位置によって変わってくる。

さて、本問では\(x=0\)のとき、最小値\(-16\)を取るか、\(x=5\)のとき最小値\(-16\)を取る二通りである。それぞれ\(x,y\)を代入し計算すれば、\(a\)の値を求めることは容易だろう。それぞれが二次方程式なので、全部で\(a\)の値は4つになるが、問題ない。

(2)はおまけの問題だ。頂点の座標を求めれば、正解するのはそう難しくないと思う。

二次関数/aの範囲

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二次関数・aの値や範囲

「○○のようになるときのaの範囲を求めよ」という問題はかなり多い。この条件のときはこうなる、という形を多く身に着けなくてはならない。

その中の一つ、「放物線が\(x\)軸と正の部分で二つの交点を持つ」という問題を用意した。条件を考えてみよう。

まず、\(x\)軸と二つの交点を持たなくてはならない。よって、D>0である必要がある(条件1)判別式Dを用いて解くと

\((a-2)^2>0\)

となる。勘違いしやすいが、両辺の二乗を外して\(a-2>0\)とするのは間違いだ。実数は二乗したら必ず正の値になるのだから、\((a-2)^2\)を満たす\(a\)の値は、\(2\)以外のすべての実数、ということになる。実際に\(a=2\)を代入してみると、式は

\(y=x^2-2x+1\)
\(y=(x-1)^2\)

となり、これは\(x=1\)ただ一点でのみ、\(x\)軸との交点を持つことになる。交点が二つにならないことが、確かめられる。

次に、軸は必ず右側、つまり正の値である必要がある(条件2)よって平方完成して軸を求める。上では省略したので細かく書くと

\(y=x^2+(a-4)x-a+3\)
\(y=(x+\frac{a-4}{2})^2-\frac{(a-4)^2}{4}-a+3\)
\(y=(x+\frac{a-4}{2})^2-\frac{a^2-8a+16}{4}-\frac{4}{4}a+\frac{12}{4}\)
\(y=(x+\frac{a-4}{2})^2+\frac{-a^2+8a-16-4a+12}{4}\)
\(y=(x+\frac{a-4}{2})^2+\frac{-a^2+4a-4}{4}\)

となり、軸は\(-\frac{a-4}{2}\)と求められる。よって

\(-\frac{a-4}{2}>0\)
\(\frac{a-4}{2}<0\)
\(a-4<0\)
\(a<4\)

さらに、\(x=0\)のとき\(y>0\)であれば、グラフGは正の部分で二つの交点を持つことになる(条件3)よってx=0を代入し不等式を作る。

\(y>0\)
\(y=x^2+(a-4)x-a+3\)
\(0<0^2+(a-4)\times0-a+3\)
\(0<-a+3\)
\(a<3\)

  1. \(2\)以外のすべての実数
  2. \(a<4\)
  3. \(a<3\)

という条件が出そろったので、並べてみるとaの範囲が求められる。すべての条件を満たす\(a\)の範囲は

\(a<2 , 2<a<3\)

である。

(2)は因数分解を利用して交点の座標を求めればよい。上記解答例以外にも、グラフGは必ず点(1,0)を通るので、AB=5となるためにはBの座標が(6,0)であればよい、と考えることも出来る。よって

\(-(a-3)=6\)
\(-a+3=6\)
\(-3=a\)

と解いてもよい。

二次関数・場合分け

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二次関数・場合分けの問題

二次関数の問題で多くの人が戸惑うのが、場合分けに関する問題だ。

「関数の最大値・最小値を求めよ」という単純な問題かと思いきや、aの値によって最大値や最小値が変わってくる。そのため、グラフの位置関係を把握することが大切になる。

まずは、固定されているものが何か、を確認したい。本問の場合は\(0\leqq x \leqq2\)という\(x\)の区間は固定されていて、絶対に動かない。逆に、頂点の座標は\((\frac{a+2}{2} , \frac{-a^2+12a+4}{4})\)となっており、文字aの値によって頂点の位置が変わってくる。

よって、「グラフがこの位置にあるときは最大値は〇」「グラフがこの位置にあるときは最大値は△」というように、グラフの位置を変化させながら解答していくことになる。

\(0\leqq x \leqq2\) の範囲で、軸がもし、0より左にあったら、最大値はどこになるだろう。軸が0より左にあるのだから、\(0\leqq x \leqq2\) の区間ではグラフは常に右下がりになっていることになる。ということは、\(x=0\)のときに最大値を取ることが分かるだろう。

もし軸が \(0\leqq x \leqq2\) の間にあったら?実際にグラフを動かしてみてほしい。\(0\leqq x \leqq2\) のどこに軸があっても、頂点の\(y\)座標が最大値になることが分かるはずだ。

もし軸が2より右側にあったら?\(0\leqq x \leqq2\) の範囲では、グラフは常に右上がりになる。よって\(x=2\)のときに、最大値を取る。

このように、軸の位置によって、どこで最大値を取るのか、が変わってくる。「軸がここにあったら…」と考えていけばよいのである。

解き方もややこしければ解答もややこしいので、苦手意識を持っている人は多い。しかし、すらすら解くことが出来れば気持ちいい問題でもある。

二次関数

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二次関数の問題

二次関数の問題は数学Iの中でも最もよく見る問題の一つだ。

\(x^2+4x+8\)

のように数字が当てはめられているものもあるが、本問のように

\(x^2+(a-1)x+3a+5\)

というように文字が使われている問題も多い。

二次関数の問題は、まずは平方完成から始まると言ってもいい。どのような二次関数でも素早く平方完成できるようにしておく必要がある。簡単に書くと、xの項を\(\frac{1}{2}\)してカッコ内に入れ、その二乗にx^2の係数をかけたものを引けばよい。といっても少々文字では分かりづらいので例を挙げると

\(x^2+2x+3=(x+1)^2-1+3\)
\(=(x+1)^2+2\)

のように行う。これは文字が入っていても全く同じルールで行える。例えば

\(x^2-(2a+4)x+3a=(x-(a+2))^2-(a+2)^2+3a\)
=\((x-(a+2))^2-(a^2+4a+4)+3a\)
=\((x-(a+2))^2-a^2-a-4\)

のようになる。また、\(x^2\)の係数をかけ忘れるミスをしやすい。

\(2x^2+4x+6=2(x^2+2x)+6\)
\(=2(x+1)^2-1\times2+6\)
\(=2(x+1)^2+4\)

とする必要がある。

さて、平方完成したらあとは問題にある範囲を答えるだけである。本問(1)は、平方完成自体は必要なく、判別式D\((b^2-4ac)\)を用いて解答できる。x軸と共有点を持つ、すなわちx軸と交わっている、あるいは接しているということなので、D=0,またはD>0ということがいえる。

逆にx軸と共有点を持たない場合はD<0となる。判別式を使えば、共有点の有無の判別が素早くできるので覚えておきたい。

(2)は頂点の座標がx,yともに正となるときのaの範囲を聞かれている。平方完成により、頂点の座標が求められているので、あとは連立不等式を解くだけである。

4つの数字で10を作るゲーム

計算力や数字に強くなるため、だけでなく、お手軽な暇つぶしになるゲームがある。それが4つの一桁の数字で四則演算し、合計を10にするゲームである。

部活の試合などで電車に乗る際、切符に書かれていたランダムな4つの数字を使って10を作り、その速さを友人と競っていた。ところが今は誰もがスイカを持っている時代。切符を買うことは少なくなっているに違いない。だが適当な4つの数字を挙げるだけで遊べるのだから、その手軽さは健在だ。いくつか例を挙げていこう。

第一問 4641

解答例:(4×4-6)×1

第二問 5902

解答例:9×0+5×2

第三問 2240

解答例:2×4+2+0

第四問 2231

\(3^2+(2-1)\)

このように2乗などを使ってみても面白い。

ナンバープレートなど、4桁の数字がランダムに書かれているものを見たら、是非やってみてもらいたい。なお、0240のように、がんばっても10が作れない数字の並びもあるが、一度考えてみることに価値がある。

なぜ1+1=2なのか

学校で話題になったようなので、説明方法をひとつ紹介したい。

これを説明するには、まず「数(自然数。0とか1とか2とか)」ってなんやねん、というところから話を始めなければならない。

箱があるとする。中身は空っぽだ。

0の箱

中身が空っぽ、ということは、「中に何もない」のでこれを「0」とする。ここで、「0」という数が出来たので、それを箱に放り込む。箱の中に放り込むと「0」は「0」となる。

1の箱

箱の中に「0」が「ひとつ」入っている。「ひとつ」の数が入っている箱になったので、これを「1」とする。

つぎに、「1」も箱の中に放り込む。「1」は「1」となる。

1の箱

0」と「1」が「ふたつ」箱に入っている。「ふたつ」の数が入った箱になったので、これを「2」とする。「2」も箱に放り込む。「2」となる。

3の箱

0」「1」「2」の「みっつ」が箱に入っている。「3」とする。「3」も箱に放り込む…と繰り返していけば、「自然数」がどんなものなのか、想像できるだろう。例えば

6の箱

0」「1」「2」「3」「4」「5」の「むっつ」の数が入っている箱。これは「6」だ。

次に、「+1」ってなんやねん、ということを考える。ある数「m」があるとする。

mの箱

「m+1」とは、「m」の箱に「m」を放り込む作業である。

m+1の箱

少し分かりづらいので、具体例を見てみよう。「3+1」を考える。まず「3」がある。

3の箱

「3+1」は「3」の箱に「3」を放り込む作業だった。つまり

3+1の箱

となる。「3」を放り込んだ後の箱を見てみると

4の箱

 

となることが分かるだろう。「3+1」=「4」である。

ここまで来れば「1+1=2」も何となく想像が付くのではないだろうか。

1の箱

「1」の箱がある。「1+1」とは「1」の箱に「1」を放り込む作業なので

1+1の箱

となる。「1」を入れた後の箱は

2の箱

となっており「1+1=2」となる。

1+1?説明するまでもなく2に決まっとるやん!と思うかもしれないが、ほんの少し考えてみると新しくて面白い発見があるかもしれない。あと知っていると話のネタになるという点でも役に立つことがあるだろう。

かけ算の筆算で使えるテクニック

かけ算の筆算は小学校で習うので、大半の人は使えるだろう。しかし筆算での無駄な動きをしている人もかなり多い。今回は無駄の少ない、筆算の便利なテクニックを紹介したい。

例題1 : 4×39

筆算1

としても正解にたどり着けるが、若干書く量が多い。そこで、4×39=39×4であることを利用し

筆算2

と解けば書く量も減るし素早く解ける。

例題2 : 480×300

素直な解き方で大変微笑ましいが、0が多すぎる。

筆算4

このように解くとよい。そうすれば一行で終わる。もう少し詳しく書くと

480×300=48×10×3×100

=48×3×10×100

と考えているようなものだ。このように解くことで、0が多いかけ算も、簡単に解くことが出来るようになるだろう。

例題3 : 342×2000

筆算5

先ほどと同様、0が多すぎてややこしくなっている。

筆算6

すっきり。

例題4 :20×35

筆算7

上記のことを組み合わせると、これも効率が悪いことに気が付くだろう。

筆算8

このように解けば一行で終わる。

例題5 : 0.05×1000

無理やり筆算にすると、次のように書くことになる。

筆算9

しかしこの問題に関しては、筆算をする必要はない。×10であれば小数点を右に1つ動かし、×100であれば小数点を右に2つ動かす。

ということは×1000であれば、小数点を3つ右に動かせばよい。したがって

筆算10

となり、筆算をするまでもなく求めることが可能だ。

ちなみに÷10であれば小数点は左に1つ動き、÷100であれば小数点は左に2つ動く。

1円から始めて1か月で1億円貯められる貯金箱

百均に行けばたくさんの貯金箱が売っている。中には、500円玉をいっぱいに入れれば10万円、あるいは30万円貯まる、という貯金箱もある。

しかし、どうせなら一億円くらい貯めたいではないか。だが手持ちのすべてのお金を貯金箱に入れてしまうと、使えるお金がなくなってしまう。そこで1円から始めても、1か月で1億円貯められる貯金箱を用意した。

No.1 : \(n^5\)乗貯金箱

\(n^5\)の上に書いてある数字は目標金額だ。当然1億である。

どういうものかを説明すると、日付を\(n\)に代入し、その金額を貯金箱に入れるのである。1日目は\(1^5=1円,2日目は2^5=32円\)…と貯金箱に入れていくのだ。
この方法で行くと、30日で約1億3000万円貯まる。証拠はこれだ。
n^5貯金箱
しかし、難点もある。貯金箱に入れる金額の上がり方が大きいので、\(8日目にして約16000円\)、\(10日目には10万円\)も貯金しなくてはならない。ハッキリ言って、10日も続かないだろう。貯金は続かなくては意味がない。そこで別の貯金箱も用意した。

No.2 : \(2^{n-1}\)貯金箱

2^n-1貯金箱

使い方は先の貯金箱と同様だ。\(n\)に日付を代入していく。1日目は\(2^{1-1}=2^0=1円\) (*中学では習わないけれど、0乗は1になる)2日目は\(2^{2-1}=2^1=2円…\)といった感じだ。これなら、\(8日目は256円、10日目も1024\)円貯金箱に入れるだけでいい。これは続けられそうだ!

2^n-1貯金箱

こちらもしっかり30日目には1億円を超える。

…?いや、数字をよく見てほしい。なんと10億円を超えている!27日目には目標の1億円を達成し、30日まで続ければ10億円貯金できる。素晴らしい。

ただし、倍々ゲームをしている以上、30日目には5億円ほど貯金箱に放り込まなくてはならない。

No.3 : \(n!\)貯金箱

n!貯金箱

別に「エヌ!」と叫んでいるわけではない。!マークを使って「階乗」というものを表している。(*高校で習う)

\(2!=1\times2=2\)
\(3!=1\times2\times3=6\)
\(4!=1\times2\times3\times4=24\)

というものだ。なんとなく想像できるのではないだろうか。

もちろんこれも、日付を\(n\)に代入し、その金額を貯金していく。1日目は\(1!=1円、2日目は2!=2円\)…。

貯金箱の目標金額が長すぎて見切れているので、左右からの写真も。

0が32個並んでいる。日本語にすると1溝円だそうだ。

ちょっと計算してみたら、すさまじい数になってしまったので紹介した。

グラフ

3つの貯金箱のグラフを重ねたものがこれだ。あれだけ大きく見えた1億や10億という数がほぼ直線に見える。(下の赤いグラフと青いグラフ)

統計などでグラフを見る機会も多いと思う。グラフを見るときは、その視覚的イメージに惑わされず、軸と比較対象をしっかり確認したい。

さて、上記の中に気に入った貯金箱があれば1日目から試してみてもらって構わない…。もう少し現実的な路線で行くと、\(n^2\)貯金箱を作れば、1か月で9000円ほど貯めることが出来る。

標本調査

*新たに標本調査のカテゴリを作っても、この1ページしか存在しないので、あまり意味がありません。よって三平方の定理のカテゴリに入れていますが、内容は三平方の定理とは直接関係はありません。

標本調査

標本調査とは、対象すべてを調査する方法(全数調査)と違って、ある標本を抜き出して調査し、それが恐らく全体に当てはまっているだろう、と考える調査方法だ。例えば国民に「今の政府の外交政策を支持しますか?」というアンケートを取りたいとしても、一人一人全員に尋ねまわるのは時間的に無理がある。そこで国民の一部をランダムで抜き出して、その集団にアンケートすることで、手間や時間を大幅に短縮することができる。

あるいは製品の検査なども、標本調査が用いられる。ある製品100個が完成したとして、その100個をすべて検査したら、それはもう新品ではなくなってしまうので、売り物にならない。売るものがなくなってしまっては話にならないので、検査は完成品の一部で行うことになる。

説明はざっくりとこんな感じだが、標本調査の数学の問題は、完全に比の計算である。全数:標本の比と、調査した結果の比を反映させれば解くことができる。

問2のように、標本の数と新たに捕まえた数が同じ場合、すこし戸惑ってしまうかもしれないが、しっかり比の式を立てられるので覚えておこう。

 

三平方の定理の利用(四角錐・円錐)

前章・三平方の定理の利用(立体)

三平方の定理の利用(四角錐・円錐)

勘のいいひとはすぐに解き方が思いつくだろう。立体の中に直角三角形があるので、三平方の定理を用いて高さを求めることが出来る。

高さは、頂点から底面に垂直におろした線なので、その点は注意が必要だ。問1は正方形のちょうど真ん中に線をおろすことになるし、問2も円の中心に線をおろすことになる。そこまでくれば、高さを求めるのは造作もないことだろう。

なお、四角錐や円錐の体積の求め方が

底面積×高さ×1/3

であることは言うまでもない。

三平方の定理の利用(立体)

前章・三平方の定理の利用(円の接線)

三平方の定理の利用(立体)
立体や空間図形などでも三平方の定理はよく利用される。とにかく直角三角形があれば使える定理なので、利用範囲は広くなる。

今回は空間図形で三平方の定理を利用する問題の、もっともシンプルなものを用意した。直方体の対角線の長さを求めるために三平方の定理を利用する。二度計算をしなくてはならないため、やっていることは少し手間なのだが、三平方の定理の便利さを実感してほしい。

公式丸暗記ではなく、解答例のように、二度の三平方の定理を使って解く方法を推奨したい。もちろん、解法を理解したうえで公式を暗記し用いるのは構わないが、「公式覚えてぶち込めばOK」という考え方はしてほしくはないのが正直なところだ。

問2は立体に紐を巻きつける問題。本問に限らず、この手の問題が出てきたら、展開図を考えるようにしよう。今回は展開図すべては必要なく、四角形AEHDとEHGCだけあれば解けるので、その他は省略している。

三平方の定理の利用(円の接線)

前章・三平方の定理の利用(二点間の距離)

三平方の定理の利用(円の接線)

問1は線の引き方を知らないと苦労するタイプの問題だ。OO’,OA,OBと線を引き、さらに直角三角形を作るように線を引く。こうすることにより、三平方の定理を利用できるようにするのである。

問2は、まずAQ=AP,BQ=BRに気が付かなければならない。言われてみれば当たり前なのだが、意外と気が付かない人は多い。

後はCP=CRの長さをxと置いて三平方の定理を使う。結果的に二次方程式になるので、それを解くだけだ。方程式を扱っていなくても、求めたいものをxと置いて色々式を組み立ててみればなんとかなる問題は多い。

三平方の定理の利用(二点間の距離)

前章・三平方の定理の利用(四角形)

三平方の定理の利用(二点間の距離))

座標が出てくると、関数の問題だと思ってしまうだろう。事実、二点から直線の式を求める問題もよく出てくる。(例えば上記だと、直線ACはy=x+1である)

しかし関数の知識だけでは二点間の距離を知ることは出来ない。そこで、直角三角形を作って、三平方の定理で距離を求める、というアイディアが必要になる。

片方の点をx方向、y方向にそれぞれいくつ進めれば、もう片方の点に重なるかを考えて、x方向、y方向の距離を出し、三平方の定理を使う。もちろん上記AC間の距離のように、比を利用できるなら利用してもよい。

三平方の定理の利用(四角形)

前章・三平方の定理の利用(三角形)三平方の定理の利用(四角形)

前回同様、三平方の定理を使って長さを求め、そこから面積を求める。

問1は知らないと少し悩むが、とにかく直角三角形が出来るように、補助線を引けばいい。直角三角形があれば、三平方の定理が使える。高さを求めたら、台形の面積の公式(上底+下底)×高さ÷2を使って面積を出す。もちろん、三角形と正方形に分けて考えてもよい。その場合1×4÷2+4×4=18となる。

問2はひし形の面積を求める問題。30°60°90°の三角形があるので、辺の比を使って底辺や高さを求め、その後面積を求める。ひし形が、すべての辺の長さが等しい四角形であるということは言うまでもないだろう。

三平方の定理の利用

前章・三平方の定理の逆

三平方の定理の利用

三平方の定理を利用して、三角形の面積を求める問題。これを解くには、とにかく高さを求める必要がある。
いずれの問題も、そのままの形は直角三角形でないため、補助線を引いて、直角三角形を作り出す。

問1は二等辺三角形なので、頂角から垂直に線を降ろせばよい。

問2 , 問3は30°、45°が活きるよう、補助線を引く。特に問3は、三角形の外側に補助線を引くことになるので、気が付きづらい。問題のパターンとして、これを機に覚えてしまおう。

三平方の定理の逆

前章・特別な直角三角形

 

三平方の定理の逆

今回は分かりやすくするため、式をすべて書いたが、実際解くときは暗算でやればいい。細かい計算をする必要がなく、等号が成り立つか、成り立たないのかだけ見ればいい。

とはいえ計算ミスをしては元も子もないので、丁寧に式を書いて求めても問題ない。丁寧さを取るか、速度を取るかの話なので、自分の力量に合わせたい。

問題自体は簡単で、計算も楽な部類だが、「もっとも長い辺をcに当てはめること」を間違えてしまうと結果がおかしくなってしまう。その一点だけは、十分に注意しよう。